可逆層與皮卡群（invertible sheaf and Picard group）
在概形上所有模層之中，最簡單的非平凡者是「線叢」——那些局部看起來像結構層單獨一份（每個小開集上一份 O_X）、卻可能隨你繞行整個空間而非平凡地扭轉的層。可逆層是線叢的概形論名稱，而它們的全體，配上一個自然的乘法，構成皮卡群——一個基本的不變量，衡量空間能被一維叢「扭轉」出多少本質不同的方式。
精確地說，概形 X 上的可逆層 L 是秩一的局部自由 O_X-模：每點都有開鄰域 U，在其上 L 限制到 U 同構於 O_X 限制到 U。「可逆」之名精確無誤：L 可逆當且僅當存在一個層 L^{-1}（它的對偶 Hom(L, O_X)），使 L tensor L^{-1} 同構於 O_X——在張量積下，可逆層有逆元。所以可逆層的同構類之集，以張量積為群運算、O_X 為單位元、對偶為逆元，構成一個阿貝爾群：皮卡群 Pic(X)。計算 Pic(X) 就是計算 X 至多差一同構地承載多少線叢——對射影空間 Pic(P^n) = Z，由典範的扭轉層 O(1) 生成，所以 P^n 上每個線叢都是 O(d)，對應唯一的整數 d，即次數。
皮卡群是概形的核心不變量之一，也是通往除子理論的橋樑：在夠好的（整、諾特、分離、正規）概形上，Pic(X) 與「卡蒂埃除子模去主除子」之群之間有一同構，所以「至多差一同構的線叢」與「至多差一線性等價的除子」是同一件事的兩個名字。這正是驅動黎曼-羅赫的線叢／除子對應。誠實的告誡。其一，可逆層恰恰是秩一的「局部自由」層——一個非局部自由的秩一凝聚層（譬如某點的理想層）「不是」可逆的，所以單憑「秩一」並不足夠。其二，與除子的對應需要前提：在奇異或非正規概形上，卡蒂埃除子（局部主，故總與線叢相繫）與韋伊除子（餘維一的閉鏈）可以「不同」，而 Pic 只匹配卡蒂埃那側——在光滑簇上兩者一致，但切勿一般地假設韋伊 = 卡蒂埃。
在 P^1 上，線叢 O(1) 是典範子叢的對偶；它的整體截面是線性形式 a x + b y，一個二維空間。取張量，O(d) = O(1)^{tensor d} 的整體截面是 d 次齊次多項式（當 d >= 0 時維數為 d + 1，當 d < 0 時為 0）。P^1 上每個可逆層都是某 O(d)，所以 Pic(P^1) = Z。
在 P^1 上，線叢恰恰是諸 O(d)，所以 Pic(P^1) = Z，O(1) 為生成元。
可逆 = 秩一「局部自由」，而非僅秩一：理想層有泛秩一卻不可逆。又，Pic 匹配的是「卡蒂埃除子模去主除子」——在奇異概形上韋伊與卡蒂埃除子不同，故勿將 Pic 等同於韋伊除子類群。