凝聚層（coherent sheaf）

擬凝聚層可以巨大無比，由無窮生成的模構築而成。但代數幾何大多數深刻的定理——有限維上同調、黎曼-羅赫、塞爾對偶——你需要那種使層「大小如有限秩的叢、不再更大」的有限性。凝聚層正是恰好內建這種有限性的擬凝聚層：局部上它由有限多個截面生成，而這些生成元之間的關係本身也是有限生成的。這些正是一切強大上同調機器奏效於其上的層。

精確地說，在諾特概形 X 上（定義最乾淨的場景），O_X-模 F 是凝聚的，當它擬凝聚且局部有限生成——在合適的仿射覆蓋 Spec R_i 上，F 限制成「有限生成」R_i 模 M_i 的 M_i~。（在諾特環上「有限生成」自動給出「有限呈現」，所以關係也有限；在非諾特概形上必須明確要求有限呈現與子模的有限性，且 O_X 本身的凝聚性不再自動成立。）凝聚層構成一個阿貝爾範疇——凝聚層的核、餘核、像與擴張都凝聚——且在張量積與有限型態射的拉回下穩定。有限秩的局部自由凝聚層恰恰是（代數的）向量叢，而可逆層（線叢）是秩一的情形。

凝聚層正是有限性定理棲身之處：在域上的射影概形上，每個凝聚層都有有限維的上同調群 H^i，在維數之上全部為零（塞爾、格羅滕迪克），而像 h^0 - h^1 這樣的歐拉示性數是可計算的不變量——這正是黎曼-羅赫與塞爾對偶背後的引擎。誠實的告誡。其一，凝聚嚴格強於擬凝聚：結構層的無窮直和是擬凝聚卻非凝聚的，而非諾特或惡性無窮概形的結構層可能在自身上不凝聚。其二，凝聚「不」意味局部自由：凝聚層可帶撓元、纖維維數可跳變（奇異點的結構層，或理想層，是凝聚的卻非向量叢），所以「凝聚層」遠比「向量叢」靈活——那種讓核與餘核留在範疇內的靈活性，正是它勝過只用叢工作的優勢所在。