无穷（infinity）
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无穷指的是「没有尽头」——某种永不停止、永不耗尽、没有最后一步的东西。最关键的一点要弄清楚：它不是一个数。你数不到它，也不能对它做普通的算术运算：根本不存在一个「最大的数」让你数着数着终于抵达，因为无论你说出哪个数，总能再加一。想象走在一条没有尽头的路上——不是很长的路，而是真的没有最后一里的路。
它为何重要：格奥尔格·康托尔发现了一件惊人的事——无穷不止一种。有些无穷严格地比另一些更大。1874 年，他证明了自然数 1、2、3……与 0 到 1 之间的全体实数是大小不同的两种无穷：自然数固然没完没了，可那一小段线上的点——其中包括无限不循环的小数，而不只是规整的那些——却是如此庞大的一群，以至于根本无法与自然数一一配对。1891 年，他给出了如今常讲的那个漂亮证明，即对角线论证：把这些数随你喜欢地排成一张清单，然后造一个新的数，让它第一位与清单第一个数的第一位不同、第二位与第二个数的第二位不同，依此类推（避开 0 和 9，免得同一个值换一种小数写法又混了回来）。你得到的这个数与清单上每一个数都不同——所以任何清单都装不下它们全部。
一个常见的混淆需要澄清：一种是「潜无穷」，指一个过程总能再走一步（你在微积分里遇到的 ∞ 符号，意思是「无限增大」）；另一种是「实无穷」，指一个已经完成的、无尽的整体，比如把全体自然数一次性看作一个集合。数学家曾认为只有前一种才算正经；康托尔了不起的一步，正是把后一种当作一个真实、可用的对象——并证明它还分大小。
自然数和偶数一样多——把每个 n 与 2n 配对，谁也不剩，尽管偶数看起来只是其中的「一半」。
对无限集合而言，部分可以和整体一样大——判断「一样多」的标准，是能否一一配对。
「∞」这个双纽线符号由英国数学家约翰·沃利斯于 1655 年引入。康托尔后来把一个无尽集合的大小称为它的「基数」：自然数拥有最小的无限基数，记作 ℵ₀（阿列夫零），而实数的基数则严格地更大。