数学 1891

论流形理论中的一个初等问题

格奥尔格·康托尔

有些无穷比另一些更大——实数永远无法被一一列出。

Choose your version

In depth · the introduction

康托尔证明：无穷不止一种大小——而填满数轴的那些数，是一个比计数的数更大的无穷；靠的是一记你在餐巾纸上就能画出来的手法。

把这个想法拆开看

要比较两个无穷的集合，康托尔问了一个孩子气的问题：能不能把它们一对一地配起来、两边都不剩？按这个标准，出人意料地有许多无穷其实一样大——偶数和整数一样多，连分数也一样多，因为你能把每一个都对着 1、2、3、… 排好队。计数的无穷 ℵ₀，仿佛把一切都吞了进去。

然后康托尔盯住了实数——数轴上的每一个点，写成一串没完没了的数字——并证明它们根本无法与计数的数配对。把任何一份号称「囊括了它们全部」的清单交给他，他就从这份清单自己的对角线上，造出一个数：它在第一位与你的第一个数不同，在第二位与你的第二个数不同，如此一路下去。它根本不在你的清单上。所以实数是一个严格更大的无穷。无穷不止一个，而且没有最大的那一个。

它从哪里来

格奥尔格·康托尔，在并不显赫的哈雷大学里，几乎以一己之力，于 1870、80 年代创立了无穷集合的理论。他在 1874 年首次证明实数不可数；那个简洁得令人惊艳的对角线版本，则出现在 1891 年——他在德国数学家协会的第一次会议上将它公之于众，而这个协会正是他参与创立、并出任首任会长的。

这让他付出了沉重的代价。柏林那位有权势的数学家利奥波德·克罗内克，拒绝相信「已完成的无穷」，他嘲讽这项工作、试图将它压下，还给康托尔扣上「腐蚀青年的人」的帽子。被挡在他想要的职位之外、又因自己最深的思想而遭攻击，康托尔反复精神崩溃，晚年在疗养院进进出出。昭雪来得很慢：不出一代人，他的集合论已成为现代数学的基岩，而大卫·希尔伯特宣告：没有人能把数学家从「康托尔创造的乐园」中驱逐出去。

它为何重要

康托尔让数学第一次真正抓住了「无穷」——不再是含混的「永远」，而是一道可以度量、可以比较的大小阶梯。而处在它中心的那记小小的对角线手法，最终竟成了一把万能钥匙：同一记手法，稍稍换个说法，后来便表明——没有任何逻辑系统能证明一切真理，也没有任何计算机能解决一切问题。一个关于「无穷有多大」的问题，变成了一个关于「理性与计算之极限」的问题。

那位不在任何名单上的客人

设想一家旅馆声称，它的住客名册列出了每一个可能的人，每个人都用一串没完没了的「是 / 否」特征来描述。你照这样造出一个捣乱者：取第 1 位客人第 1 项特征的反面，取第 2 位客人第 2 项特征的反面，取第 3 位客人第 3 项特征的反面，就这样沿对角线走下去。结果是一份完全合格的人物描述——可他不可能是第 1 位客人（两人在第 1 项上就不同），不可能是第 2 位，不可能是名册上的任何一位。那份「完整的」名单，从来就不完整。在下方亲手把这位客人造出来。

它在故事里的位置

伽利略早已注意到一件怪事——你可以把每个整数与它的平方配对，仿佛「部分」竟和「整体」一样大——但他退了回去，说无穷无法比较。康托尔径直走了进去，建起了一套理论。在他的对角线之后，既有危机也有革命：草率地用它，会得出罗素悖论，逼着数学家在审慎的公理之上重建集合论。而同一道对角线，正是本馆中两座后来的里程碑的直系祖先——哥德尔证明「真超出可证」（1931），图灵证明「有些问题没有机器能判定」（1950）。康托尔答不出的那个连续统问题，最终被证明：从标准公理出发，根本无法回答。

The original document

Original source text

Georg Cantor · Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1 (1891): 75–78 · presented at the founding meeting of the German Mathematical Society, Halle

In a paper of 1874 — “On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers” — there appeared, perhaps for the first time, a proof of the theorem that there are infinite manifolds that cannot be put into one-to-one correspondence with the totality of the finite whole numbers 1, 2, 3, …, ν, …. From what is shown here there follows a new proof of that theorem, one far simpler, and one that does not depend on considering the irrational numbers.

Let m and w be any two mutually exclusive characters, and consider a collection M of elements E = (x₁, x₂, …, x_ν, …) which depend on infinitely many coordinates x₁, x₂, …, x_ν, …, where each of these coordinates is either m or w.

Suppose, for contradiction, that this collection M could be written out as a single endless list E₁, E₂, E₃, …. Write each Eμ as its own row of coordinates a(μ,1), a(μ,2), a(μ,3), …, and read straight down the diagonal: a(1,1), a(2,2), a(3,3), …. Now define one new element E₀ = (b₁, b₂, b₃, …) by reversing each diagonal entry — let b_ν = w whenever a(ν,ν) = m, and b_ν = m whenever a(ν,ν) = w. Then E₀ differs from E₁ in its first coordinate, from E₂ in its second, from Eμ in its μ-th — so E₀ is none of them. It belongs to M, yet it is absent from the list. The supposed list cannot exist.

[ … ]

This proof is remarkable not only for its great simplicity, but above all because the principle it follows extends at once to the general theorem that the powers of well-defined manifolds have no maximum — or, what is the same, that beside any given manifold L one can place another, M, of higher power than L.

Halle · 1891