无穷等比级数

无穷等比级数把一个等比数列的无穷多项加起来：a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，没有最后一项。出人意料的是，当每一项相对前项足够小时，这个无尽的和仍可能逼近一个有限的数。

它恰好在公比满足 |r| < 1 时收敛；此时和为 S = a_1 / (1 − r)。原因在于有限求和公式中的 r^n 随着 n 增大而趋向 0，于是 S_n = a_1·(1 − r^n)/(1 − r) 趋向 a_1 / (1 − r)。

若 |r| ≥ 1，各项不趋向 0，部分和始终不稳定，级数发散——它没有有限的和，因此不能套用该公式。经典的图景是 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...，其累计总和越来越接近 1。