等比级数

等比级数是等比数列各项之和——把一列每项都是前项固定倍数的数加起来。例如 1 + 2 + 4 + 8 + 16 就是把一个翻倍数列的前几项相加。

前 n 项之和有一个简洁的封闭公式：S_n = a_1 · (1 − r^n) / (1 − r)，只要 r ≠ 1 就成立。其背后的技巧是把整个和乘以 r 再相减，这会消去几乎所有的项。（若 r = 1，则每项都等于 a_1，于是和就是 n · a_1。）

这个公式让你不必逐项相加，并且是从贷款还款到 |r| < 1 时无穷等比级数求和等一切问题的基础。注意指数：它是 r^n，而不是 r^(n−1)，尽管第 n 项本身用的是 r^(n−1)。