n×n 朗斯基行列式（n-by-n Wronskian）
/ VRON-skee-an /
假設有人遞給你某個齊次方程的 n 個解，問道：「這些真的獨立嗎，還是其中一個其實是其他的組合？」一旦超過兩個函數，光用眼睛看就毫無希望。朗斯基行列式（Wronskian）是一個單一的數字——由這些函數及其導數算出——只需一次計算就能回答這個問題。在二階它是一個 2×2 行列式；在 n 階它是一個 n×n 的。
它是這樣建構的。把 n 個函數排在第一列，它們的一階導數排在下一列，接著二階導數，一路排到最底列的 (n-1) 階導數，構成一個 n×n 矩陣。朗斯基行列式 W(y1, ..., yn)(x) 就是該矩陣的行列式。判別法：若這些函數是同一個 n 階齊次線性方程在某區間上的解，則它們線性獨立的充要條件，是它們的朗斯基行列式在區間上某處非零——而且有一個漂亮的二分法成立：對這樣的解，朗斯基行列式要嘛在整個區間上恆為零，要嘛在那裡處處不為零。因此非零的朗斯基行列式就證明了一組基本解系：n 個張成整個 n 維解空間的解。
這之所以重要，是因為它把一個困難而抽象的問題（函數的獨立性）轉成一個具體而機械的問題（求一個行列式的值）。它也餵入高階參數變易法的公式，其中朗斯基型的行列式提供了特解的建構基石。一個誠實的提醒：這個乾淨的「要嘛恆零、要嘛處處非零」二分法，是關於同一線性 ODE 之解的定理——對任意函數而言，行列式在某點為零並不能單獨證明它們相依。
對 y''' = 0 的解 1、x、x^2，朗斯基行列式是列為 (1, x, x^2)、(0, 1, 2x)、(0, 0, 2) 的 3×3 矩陣的行列式。它等於 2，處處非零，所以 1、x、x^2 構成一組基本解系。
非零的 n×n 朗斯基行列式，證明 n 個解構成一組獨立的基本解系。
阿貝爾恆等式（Abel's identity）推廣到 n 階，說朗斯基行列式滿足 W' = -p_(n-1)(x) W，故 W = W(x0) exp(-p_(n-1) 的積分)；這正是它不會在零與非零之間閃爍的原因。