阿貝爾恆等式（Abel's identity）
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這裡有個小小的奇蹟：你能查出兩個解的朗斯基行列式究竟如何表現，它是否保持非零、可能在何處消失、它的精確公式，而無需知道那些解本身。你只需要方程的係數。阿貝爾恆等式正是施展這套戲法的公式。
對 y'' + p(x) y' + q(x) y = 0，阿貝爾恆等式說朗斯基行列式滿足 W(x) = W(x0) e^(-integral from x0 to x of p(t) dt)。它由一個優雅的步驟推導：對 W = y1 y2' - y2 y1' 求導得 W' = y1 y2'' - y2 y1''，再由方程代入 y1'' = -p y1' - q y1 與 y2'' = -p y2' - q y2；q 的項互相抵消，你剩下簡單的一階方程 W' = -p W，其解便是上面那個指數。注意有什麼被消掉了：q(x) 根本不起作用，而解 y1、y2 從最終公式裡消失了。
兩個推論使這個恆等式不可或缺。其一，指數 e^(-integral of p) 永不為零，所以阿貝爾證明了朗斯基行列式的全有或全無律：它要麼處處為零（當 W(x0) = 0 時），要麼處處不為零，沒有中間地帶。這正是朗斯基無關性檢驗可靠的深層原因。其二，在降階法中，由阿貝爾得知 W、再知道一個解 y1，便能以單次積分恢復第二個解，因為 W = y1 y2' - y2 y1' 本身就是關於 y2 的一階方程。阿貝爾恆等式默默地撐起了大半的齊次理論。
對 y'' + 3 y' + 2 y = 0（此處 p = 3），阿貝爾給出 W(x) = W(0) e^(-3x)。實際的解 e^(-x)、e^(-2x) 其朗斯基行列式為 e^(-x)(-2 e^(-2x)) - e^(-2x)(-e^(-x)) = -e^(-3x)，與阿貝爾僅憑 p 預測的 e^(-3x) 形狀相符。
阿貝爾僅憑係數 p 便預測朗斯基行列式的形狀，無需先找出任何解。
阿貝爾恆等式假設方程為首項係數為 1 的標準形式，使 p 是 y' 的真正係數。對 a y'' + b y' + c y = 0，要先除以 a；指數用的是 b/a，而非 b。