經由格林定理通往柯西定理的途徑（route via Green's theorem）

在古薩精簡的三角形論證之前，有一條更古老且非常直觀的途徑可以看出柯西定理為何成立——柯西本人的途徑，經由多變量微積分中的格林定理。值得認識它，因為它讓柯西-黎曼方程顯然地對積分消失負責，把複數定理連結到一個你或許已見過的實平面定理。

以下是推理之鏈。寫 f = u + iv 與 z = x + iy，故 dz = dx + i dy。乘開後，f dz = (u dx - v dy) + i (v dx + u dy)，把單一複圍道積分變成繞封閉曲線的兩個實線積分。格林定理把繞封閉曲線的每個實線積分轉換成偏導數在所圍區域上的二重積分。當你執行這一步時，所得的兩個面積被積函數為 (-v_x - u_y) 與 (u_x - v_y)。但柯西-黎曼方程說 u_x = v_y 與 u_y = -v_x——這使兩個被積函數都恆為零。所以兩個二重積分都消失，圍道積分為零。

這真正富有啟發性：在此觀點下，柯西定理就是柯西-黎曼方程在一個區域上的積分。問題所在，也是古薩證明取而代之的原因，是這種形式的格林定理要求偏導數 u_x、u_y、v_x、v_y 連續——等價地，它假設 f' 連續。古薩的四分細分論證後來移除了那個假設，僅從赤裸的複可微性證明了同樣的定理。所以格林定理途徑是在稍強前提下誠實而具動機的證明；古薩是把同樣的結論做到無懈可擊。