古薩三角形論證（Goursat's triangle argument）
/ Goursat: goor-SAH /
這是柯西-古薩定理內部精巧的引擎——僅用可微性就證明解析函數繞三角形的積分為零的具體論證。值得詳細認識它，因為它以縮影展示了每點處單一的導數如何掌控一個整體的積分。
以下是這個方法的平實步驟。從三角形 T 開始，把它邊界積分的大小記為 I（我們要證明 I = 0）。連接 T 三邊的中點，把它切成四個全等的子三角形。四個子邊界積分加起來等於 T 上的積分，因為新的內部邊各被往返走過兩次而相消。由三角不等式，四個子積分中至少有一個的大小不小於 |I|/4。挑出那個子三角形並重複，得到一列嵌套且越來越小的三角形，第 n 個所載積分的大小不小於 |I|/4^n，而每次直徑縮為四分之一。這些三角形收縮到單一點 p。在 p 附近，可微性說 f(z) = f(p) + f'(p)(z - p) + （一個相較於 |z - p| 很小的餘項）。常數與線性部分繞任何封閉迴路積分恰好為零（它們有原函數），故只有那個小餘項有貢獻；ML不等式把第 n 個積分以（某個極小量）乘以（周長）為界，這除非 |I| = 0 否則會勝過 |I|/4^n。因此 I = 0。
其美妙之處在於從未用到 f' 的連續性——只用了導數在單一極限點 p 處的定義性極限。從三角形，結果擴展到多邊形（切成三角形），再到一般圍道（用多邊形逼近），給出完整定理。這個論證正是複分析能在最溫和前提下宣稱其核心奇蹟的原因。
若第 n 個嵌套三角形的直徑為 d_n（前一個的四分之一）、周長為 L_n（也是四分之一），則在 p 附近餘項至多為 epsilon 乘以 d_n，故其積分至多為 epsilon 乘以 d_n 乘以 L_n，即 (epsilon 乘以 d_0 乘以 L_0)/4^n。這必須至少為 |I|/4^n，迫使對每個 epsilon 都有 |I| 至多為 epsilon 乘以 d_0 乘以 L_0，因此 |I| = 0。
4^n 的記帳如何與 4^n 的縮小相抵，只剩下零。
這個論證之所以證明迴路積分為零，僅僅是因為 f 局部展開的常數項與線性項本就有原函數；起作用的是餘項的高階微小性，而非任何魔法。