測地完備性（geodesic completeness）

想像你沿著空間上最直的路徑出發，問：我能永遠走下去，還是地面乾脆就到頭了？在無限的平直平面或球面上，你能行進到永遠、永不墜出邊緣。但在挖掉一個點的平面上，一條筆直瞄準那個洞的測地線會在有限時間內抵達它，無處可續。測地完備性就是「沒有這種過早停止發生」的精確陳述——每條測地線都能對其參數的一切值延展下去。

精確地說，黎曼流形是測地完備的，若每條測地線——在任一點朝任一方向出發——都能朝兩個方向延展到任意大的參數值，永不在有限時間撞上缺失的點或邊緣。等價地，由著名的霍普夫-里諾（Hopf-Rinow）定理，這與流形作為度量空間是完備的（每個柯西序列收斂）相同，也等價於有界閉集是緊緻的。同一定理還附帶一份回報：在完備流形上，任兩點實際上都由一條最短測地線相連，所以抽象的距離總能由一條真正的路徑實現。

完備性是使重大整體定理為真的技術假設；少了它，幾何可能在一個人造邊界上崩解。它與大小是有限還是無限無關——球面完備且有限，配平直度量的開單位圓盤雖有界卻不完備，而整個平面完備且無限。在相對論中，類比戲劇性十足：測地不完備的時空，恰恰是自由墜落觀測者的路徑戛然而止之處，這正是黑洞內部或大霹靂處奇異點的嚴格意義。