常曲率空間（constant-curvature space）
在所有彎曲空間中，有三個完美地均勻：在每個方向、每個點都一樣，沒有特殊的地點，也沒有偏好的取向。這些就是常曲率空間，恰有三種模型類型，依曲率的正負號分類：球面（正）、尋常的平直歐氏空間（零）、與雙曲空間（負）。它們是圓的、平的、與鞍形的——最乾淨的幾何，也是衡量其他一切的標準。
精確地說，黎曼流形具常曲率，若它的截面曲率 K 在每個點的每個二維平面都取相同的值。K 的正負號在伸縮意義下定下模型：K > 0 給出球面（這裡三角形鼓起、內角和大於 180 度），K = 0 給出歐氏空間（熟悉的幾何，內角和恰為 180），K < 0 給出雙曲空間（三角形被掐縮、內角和小於 180）。這三個是唯一的單連通完備例子，即模型空間或「空間形式」，且它們極度對稱——每個常曲率空間從任一點朝任一方向看都完全相同，這是幾何所能擁有的最強對稱。
常曲率空間是非歐幾何的拱心石：雙曲空間正是那個久尋的模型，證明平行公設是獨立的，既無法由歐幾里得的其他公理證明、也無法由它們反駁。它們把抽象化為具體，因為每個一般定理都能先在這三個乾淨情形上檢驗。誠實的歷史要點是：雙曲幾何的發現並未顯示歐幾里得錯了——歐氏幾何不過是一個三選項家族中 K = 0 的那個成員，三者同樣自洽，至於哪一個描述物理空間，那是量測的問題，不是邏輯的問題。
在三個模型空間上各畫一個三角形，三邊都是「直」的。在球面上它的內角和大於 180 度（盈出正比於面積）；在平直平面上恰為 180；在雙曲平面上小於 180（虧損正比於面積）。單單一個數 K 就決定你身在哪個世界。
同一個三角形，三個世界：內角和大於、等於或小於 180 度，視 K 為正、零或負而定。
雙曲幾何證明平行公設是獨立的，而非錯誤——歐氏空間只是三選項家族中平的那個成員，三者皆邏輯自洽。要小心區分常截面曲率（極為剛硬）與弱得多的常純量或里奇曲率。