截面曲率（sectional curvature）
高維的完整黎曼張量是個龐大的對象，分量眾多，難以一次想像。截面曲率是把它讀成人類尺度的辦法：選一個點，選一片通過該點的平直二維方向切片，問空間沿這片特定切片有多彎。答案是單一一個數——而它恰恰是由那兩個方向上的測地線掃出的小曲面的高斯曲率。
精確地說，在點 p 選切空間裡一個由兩個獨立切向量 u、v 張成的二維平面 P。截面曲率 K(P) 是由黎曼張量造出的一個特定比值：K(P) = g(R(u, v)v, u) 除以 (g(u, u) g(v, v) - g(u, v)^2)，其中分母是 u、v 所張平行四邊形的面積平方，使答案與你選哪組 u、v 來張 P 無關。幾何上，K(P) 就是把測地線朝 P 中所有方向發射出去所形成的曲面，在 p 處的高斯曲率。知道每個點每個二維平面 P 的 K(P)，就能還原整個黎曼張量，所以截面曲率是完整的資訊，只是逐平面重新包裝。
截面曲率是各種曲率觀念中最具幾何感的，因為每個值都是熟悉的高斯曲率。它的正負號意義鮮明：正截面曲率使鄰近測地線收斂（如球面上經線在兩極相會），零使它們保持平行（平直平面），負則使它們指數般地散開（雙曲空間）。許多定理依截面曲率的正負或夾擠來分類流形。一點提醒：在三維或更高維，同一點不同平面的截面曲率可能變化劇烈，所以單一的「空間曲率」鮮少存在——你必須說清楚是哪個二維平面。
在半徑為 a 的球面上，每個點的每個二維平面都給出相同的截面曲率 K = 1/a^2——空間在所有方向上彎曲程度相同，這正是它是常曲率模型的原因。相對地，在鞍形曲面上，沿谷地方向與沿脊線方向的曲率正負相反，給出負的高斯曲率。
截面曲率是一個二維方向切片的高斯曲率；在球面上，每個切片都相同。
截面曲率附在一片二維方向平面上，而非單獨附在一點上。在二維以上，它通常逐平面不同，所以在你指明平面之前，「這裡的曲率」是模稜兩可的。