指數映射（exponential map）
站在彎曲空間的某一點，你擁有一個平直切空間，裡面滿是「往那個方向、走這麼遠」的方向加距離指令。指數映射就是真正在彎曲空間上執行這種指令的裝置。它接過一個切向量，然後說：沿那方向順著測地線出發，走一段等於向量長度的距離，回報你落在哪裡。它是從容易的平直切空間，通往難搞的彎曲流形的橋。
精確地說，在點 p，指數映射 exp_p 接過切空間 T_p M 中的一個切向量 v，回傳沿以 p 為起點、初速為 v 的測地線、行進參數時間 1 所到達的點。因為速度為 v 的測地線走的距離等於 |v|，這映射把平直切空間中長度為 |v| 的直射線，變成流形上同樣長度的測地線。在原點附近，exp_p 是光滑且可逆的對應，所以它的逆給出一張特權圖卡，稱為法座標（normal coordinates），其中通過 p 的測地線看起來完全筆直、度量在一階上與平直度量一致——這是彎曲空間最乾淨的局部圖像。
指數映射正是「彎曲空間在局部像平直空間」這句話的精確意思：它讓你把切空間井然有序的帳簿搬到流形本身上。但它的觸及範圍受曲率、以及測地線在交會或停止前能跑多遠所限。在球面上，從北極朝所有方向射出的測地線全在南極重新匯聚，所以映射在那裡不再是一對一——那匯聚點是共軛點（conjugate point），而 exp_p 保持單射的半徑（單射半徑，injectivity radius）是幾何在自我摺疊回來之前留給你多少空間的一個基本量度。
在半徑為 a 的球面上，站在北極施行 exp。一個長度為 L 的切向量指引你沿某條經線、走距離 L。當 L 等於 pi a（到南極的距離）時，每個方向都落在同一個南極上——所以 exp_p 在那裡是多對一，這正是正曲率的標記。
exp 從一點射出測地線；在球面上它們全在對蹠點重新匯聚，那是一個共軛點。
指數映射通常只是切空間與流形之間的局部匹配；正曲率使測地線重新聚焦，所以走得夠遠 exp 就不再一對一。這名字借自李理論中的矩陣指數，與初等微積分的函數 e^x 無關。