基本群（fundamental group）

基本群是拓樸學藉由觀察迴圈來偵測洞的方式。在你的空間上挑一個基點，考慮所有從那裡出發又回到那裡的迴圈——你能走的來回路程，像一段一端釘住、引出去再帶回來的繩子。在一個平坦的圓盤上，每條迴圈都能慢慢收回、縮到基點上；空間沒有洞可以勾住繩子。但在甜甜圈上，一條繞著洞走的迴圈，不離開曲面就無法縮掉——那個洞拽住它。基本群恰恰編目了哪些迴圈本質上不同、哪些能彼此變形。

說精確些：固定一個基點 p，並把 p 處的兩條迴圈稱為等價，若其一能在基點釘住的情況下連續變形（同倫）成另一條。每個等價類是「一種迴圈」。你能把兩條迴圈合起來，先走再走——先走迴圈 a，再走迴圈 b——而這種合成把迴圈類的集合變成一個群，寫作 pi_1(X, p)：有單位元（原地不動的迴圈），每條迴圈有反元素（倒著走），且運算可結合。這個群的結構編碼了空間的洞。對圓，pi_1 是整數 Z，那整數數的是一條迴圈繞了幾圈（朝哪個方向）；對平面或圓盤，pi_1 是平凡的——只有單位元。

基本群是拓樸學第一個偉大的代數不變量：它把柔軟的幾何問題「這些空間相同嗎？」轉成困難卻可計算的問題「這些群相同嗎？」。若兩個空間同胚，它們的基本群相同，所以不同的群證明不同的空間。一個基本群平凡的空間——每條迴圈都縮成一點——稱為單連通（simply connected）；球面與平面單連通，圓與環面不是。誠實的告誡：基本群對迴圈是完整的答案，卻不能看見每一種洞。二維球面的 pi_1 平凡（上面每條迴圈都縮得掉），卻顯然不等同於一個點——它的二維「空腔」只有更高階的不變量才偵測得到，pi_1 看不見。