同倫（homotopy）

同倫是「把一個東西連續變形成另一個」的精確說法。兩條路徑、兩條迴圈、甚至兩個完整的映射，若你能透過一族平滑的中間階段、毫無突兀跳躍地把一個逐漸塑成另一個，它們就是同倫的。想像桌面上的一條橡皮筋：你不剪斷地隨意滑動、重塑它，就描出了一個從起始形狀到終了形狀的同倫。同倫把拓樸學橡皮膜式的直覺化為嚴謹的數學——它是「我能把這個扭成那個」的正式概念。

具體地說，兩條迴圈 a 與 b（都從同一基點出發又回到那裡）是同倫的，若存在一族連續的迴圈，每個時刻 t（介於 0 與 1 之間）對應一條，t = 0 時它是 a、t = 1 時它是 b，而每個中間的都是貨真價實、釘在基點上的迴圈。把整個變形想成一部連續的電影：第 0 格是迴圈 a，最後一格是迴圈 b，中間每一格都是合法的迴圈、無縫滑動。若這樣的電影存在，a 與 b 就算「同一條迴圈」（就拓樸目的而言）。同倫是個等價關係，而把所有迴圈歸入同倫類，正是基本群的原料。

同倫之所以重要，是因為它對拓樸所問的關於洞與迴圈的問題而言，正是恰當的「相同」概念——它恰是那種使迴圈本質纏繞無法改變的變形。一條環著洞的迴圈與一條沒環著的迴圈永遠不同倫，因為沒有任何連續變形能把繩子拖過那個缺失的點。誠實的區別：同倫比同胚寬鬆得多。一個實心圓盤與單獨一點是同倫等價的（圓盤連續地縮到它的中心），儘管它們顯然不同胚——所以同倫等價能把同胚牢牢分開的空間認同起來，它是兩者中較粗、較寬容的工具。