覆蓋空間（covering space）

覆蓋空間是一個空間「展開」後的版本，它均勻地蓋落到原空間上，就像一道無限長的螺旋坡道投影到單一一層圓形地板上。想像一條螺旋線——一座永遠上升的旋轉樓梯——懸在一個圓上方：把螺旋線的每一點直直往下落，它就落在圓上，而圓上每一點頭頂都有一整疊點，螺旋每轉一圈對應一個。螺旋線覆蓋了圓。繞圓走一圈，提升到爬樓梯整整一圈，卻從不真正回到起點。覆蓋空間把原空間攤開，使它的迴圈變成開放的路徑。

精確地說，覆蓋映射是一個從空間 C（覆蓋空間）到空間 X 的連續滿射 p，具有這個均勻性質：X 的每一點都有一個鄰域 U，它在 C 中的原像是 U 的若干份互不相交的副本所疊成，每一份都同胚地映落到 U 上——像一疊一模一樣的卡片鋪在每一塊小片上方。實數線就這樣覆蓋圓，透過 p(t) = (cos 2 pi t, sin 2 pi t)，它把直線無限地繞上圓、把整數全疊在一點上方。覆蓋圓就是把它「展開」，而一條在樓下繞 n 圈的迴圈，提升到樓上就是一條爬升 n 級卻不閉合的路徑——這正是圓的基本群是整數的原因。

覆蓋空間是基本群的幾何鏡像：存在一部精確的字典，其中一個良好空間的諸覆蓋對應到它基本群的諸子群，所以你能藉由研究展開來研究迴圈與洞，反之亦然。展開得最徹底的覆蓋，即萬有覆蓋（universal cover），是單連通的——樓下的每條迴圈一旦提升上去就被消滅。這是拓樸與幾何中最有力的工具之一，把關於迴圈的難題化為關於提升的較清爽問題。誠實的告誡：覆蓋理論只對相當溫馴的空間（連通、局部表現良好）才這麼乾淨；對病態空間，那部漂亮的對應可能失效。