集合上的自由向量空间

给定任意集合 S——字母、动物、点，无论什么——域 F 上的自由向量空间 F(S) 是 S 的元素的形式有限线性组合构成的空间。一个典型元素形如 3*cat - 2*dog + 7*fish：符号 cat、dog、fish 被当作独立的基向量，系数来自 F。你正在制造一个向量空间，其基按构造恰是你起初的那个集合 S。

具体地，F(S) 是除有限多个点外处处为零的函数 S -> F 构成的空间；S 中的元素 s 对应那个在 s 处为 1、别处为 0 的函数。加法与缩放是逐点的。集合 S 作为一组基坐落于 F(S) 之内，故 dim F(S) 是 S 的基数——你以最经济的方式把一个赤裸的集合化为向量空间，除公理强制者外没有在元素间添加任何关系。

深刻的刻画是万有性质，它正是“自由”的真义。从 S 到任意向量空间 W 的任何函数，都唯一地延拓为一个线性映射 F(S) -> W。换言之：要定义一个从自由空间出发的线性映射，你只需说出基元素（原始符号）去往何处，完全自由——没有需遵守的约束。自由空间是由 S 生成的最高效的向量空间，除线性外不施加任何关系。

为何要这样造一个空间？因为它让你能线性化任何集合。路径的形式和构建拓扑中的链群；基态的形式和构建量子态空间；群元素的形式和构建群代数。每当你想对尚非向量的对象“取线性组合”，自由向量空间就是赋予它们这种能力的典范机器——而万有性质保证你没有添加任何多余之物。