一階方程組（first-order system）

現實中的事物很少是一次只變一個。兔子的數量取決於狐狸的數量，而狐狸又取決於兔子；電路裡某個電容上的電壓推動電流，又改變了另一個電容。當好幾個量一起變化，每個量的變化率都依賴於整組量時，你需要的不是一條方程，而是一隊互相耦合的方程。這一隊方程，就是一階方程組。

具體來說，你有好幾個關於同一變量 t 的未知函數，叫它們 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)，並且每個導數都有一條方程：x1' = f1(t, x1, …, xn)、x2' = f2(t, x1, …, xn)，依此類推。「一階」指只出現一階導數，任何地方都沒有 x''。把這些未知函數疊成一個向量 x(t) = (x1, …, xn)，整隊方程就緊湊地寫成 x' = f(t, x)。每個 f_i 都可以自由地提到其他任何未知函數，這種相互依賴正是「耦合」的意思，也正是讓方程組不只是 n 個獨立問題的原因。

一階方程組之所以重要，是因為它是微分方程的通用貨幣。任何一條高階方程都能改寫成一階方程組，而幾乎每一種數值解法，尤拉法、龍格－庫塔法，都是為了把一階方程組沿時間往前推進而設計的。所以學會用方程組來思考並不是額外的題目，而是幾乎一切其他東西最終被翻譯成的那種形式。