耦合的未知函數（coupled unknowns）

想像兩個用管子連通的鹽水槽：流進第一個槽的鹽會改變第二個，而從第二個流出的又流回第一個。不知道同一時刻另一個槽的鹽量，你就算不出這一個槽的。這兩個量被鎖在一起，這種互鎖正是「耦合」的意思。

方程組中的未知函數是耦合的，當至少有一條描述某個未知函數導數的方程裡含有另一個未知函數。在 x1' = a x1 + b x2 中，x2 出現在 x1 方程的右邊（且 b 不為零），意味著 x1 無法被單獨求解，它的變化率被 x2 操縱，通常反之亦然。在向量－矩陣形式 x' = A x 中，耦合恰恰就是 A 中非對角元素不為零：每個非對角元 a_{ij} 是未知函數 j 驅動未知函數 i 的強度。如果 A 是對角的，每個非對角元都會是零，方程就會分裂成互相獨立的純量問題，未知函數也就解耦了。

耦合正是使方程組真正比一串分離方程更難的原因，也是整套線性代數機制存在的全部理由。特徵值方法與對角化，骨子裡是在尋找一組特殊座標，使耦合在其中消失，而特徵向量方向，正是非對角干擾彼此抵消的那些方向。所以「耦合的未知函數」指出了困難，而「藉對角化解耦」指出了藥方。