混合（隔室）問題

想像一個裝著鹽水的水箱。新的鹽水從頂部流入，而攪拌均勻的混合液從底部排出。任一時刻水箱裡有多少鹽？這個不起眼的水箱，是通向一整族「隔室」模型的門戶——用於湖中的污染物、藥物在血流中的擴散、或熱在房間之間的傳遞——而它們全都是由一個簡單概念構築的一階微分方程。

這個概念就是記帳：鹽累積的速率，等於流入的速率減去流出的速率。設 A(t) 為鹽量，則 dA/dt =（流入速率）−（流出速率）。流入速率是流入濃度乘以流入流速。流出速率是流出流速乘以水箱當下的濃度，也就是 A 除以當下體積 V(t)——而關鍵在於，「攪拌均勻」這個假設正是讓你能斷言流出濃度等於水箱平均濃度的依據。於是 dA/dt = c_in · r_in − r_out · A/V(t)。當體積維持不變時，這是一個可用積分因子求解的一階線性方程。

隔室思維無處不在：藥物動力學追蹤藥物在血液與組織隔室間的移動；環境模型追蹤污染物從水庫中沖刷而出。整套方法仰賴「混合均勻」的假設——內容物在每一瞬間都均勻一致。在真實的湖泊或滯流的水箱中，分層與死區使真實濃度並不均勻，這個簡單模型只是近似現實。