把高階方程化為一階方程組（conversion to a first-order system）

你花了不少力氣學會求解單一條二階方程，像是 y'' + p y' + q y = 0。但數值解法和整套方程組機制想要的是一階方程組。所幸有一個簡單、完全機械化的技巧，能把任何 n 階方程化成 n 條方程的一階方程組，不需要任何巧思，每次都是同一套做法。

以 y'' = f(t, y, y') 為例。給較低階的導數取新名字：令 x1 = y、x2 = y'。於是 x1' = y' = x2，這是第一條方程；x2' = y'' = f(t, x1, x2)，這是第二條。於是這條二階方程就變成一對方程：x1' = x2、x2' = f(t, x1, x2)。對 n 階方程，你設 x1 = y、x2 = y'、…、xn = y^(n-1)；前 n-1 條方程只是說每個 x_i' = x_{i+1}（這些變量連成一條鏈），而最後一條 xn' = f(t, x1, …, xn) 承載了原方程的內容。這筆交易是公道的：你用 n 個未知函數的 n 條方程，換掉一個未知函數的一條方程，但現在每條方程都是一階的。

正是這種轉換，使方程組的理論不是冷門，而是涵蓋了整套單一高階方程的理論。存在唯一性定理通常是對一階方程組證明的，然後就免費地適用於高階方程。實務上，要數值求解 y'' + sin(y) = 0（單擺），任何軟體在內部做的第一件事，正是這個改寫。