一階方程的標準形 y' = f(x, y)

在你把一個一階方程歸入某個方法之前，先把它寫成一個乾淨的形狀會很有幫助。一階方程的標準形是 y' = f(x, y)：導數獨自在左邊，其餘一切——無論 x 與 y 怎麼混在一起——都打包成右邊單一的函數 f。這是呈現一階常微分方程的標準方式，讓你一眼看出什麼依賴什麼。

這裡 f(x, y) 是任何把點 (x, y) 變成一個斜率的規則。那個斜率正是通過 (x, y) 的解曲線必須具有的 dy/dx 值，這也是為什麼這個形式是斜率場的自然居所：在每個格點上你計算 f(x, y)，畫一小段具有該斜率的線段。許多方程以偽裝出現——例如 2 y' x = y - 1——第一步就是解出 y' 以到達標準形 y' = (y - 1)/(2 x)。到了那裡，你就分類：f 是一個 x 部分與一個 y 部分的乘積嗎（可分離）？它對 y 是線性的嗎，也就是 f = q(x) - p(x) y（線性）？還是兩者皆非？

這個形式之所以重要，是因為整套存在唯一性理論都是針對它陳述的：標準定理探問 f 與它對 y 的偏導數在某點附近的連續性，並承諾過該點有一個解。它也劃出一條誠實的界線——把方程化成標準形可能需要除以某個會消失的東西（如上面的 2 x，在 x = 0 處無定義），而那些被排除的點正是解可能斷裂、爆破或分岔之處。