線性常微分方程組（linear system of ODEs）
在所有微分方程組之中，有一個特殊、表現極好的家族脫穎而出，那就是線性的方程組。對這些方程組，存在一套完整而精確的理論：你能描述每一個解、預測長期行為，並重複使用整套矩陣與特徵值的工具。多數現實模型並非線性，但人們研究它們的方式，正是拿它們與線性的相比較，所以這是其他一切所依憑的基礎。
一階方程組 x' = f(t, x) 是線性的，當每個 f_i 都是未知函數的線性組合再加上一個不含未知函數的項：f_i = a_{i1}(t) x1 + … + a_{in}(t) xn + g_i(t)。沒有任何未知函數被平方、被另一個未知函數乘、或被塞進正弦或指數裡。把係數蒐集起來，整個方程組恰好就是 x' = A(t) x + g(t)，其中 A(t) 是係數函數構成的矩陣，g(t) 是輸入向量。當 A 的元素不依賴於 t 時，方程組稱為常係數的，這正是特徵值方法能完全求解的情形。當 g(t) = 0 時方程組是齊次的，否則就是非齊次（或受迫）的。
正是線性使得疊加原理成立：把一個解放大仍是解，把兩個齊次解相加會得到第三個解。由這一個事實，整套結構隨之而來，基本解組、維數恰當的解空間、把受迫問題乾淨地拆成齊次加特解。一旦認出一個方程組是線性的，就立刻知道哪些強大機制可以使用。
x1' = -x1 + 2 x2、x2' = 3 x1 - 4 x2 + e^t 是線性的：每個未知函數都以一次方出現，e^t 落在 g(t) 裡。但 x1' = x1 x2、x2' = x1^2 是非線性的，因為有未知函數的乘積與平方。
判斷線性與否，看的是未知函數如何出現，而非係數函數 a_{ij}(t)，它們可以是 t 的任意函數。
常見的失誤是因為方程組「看起來簡單」就稱它為線性。判準很嚴格：不得有未知函數的乘積或非線性函數。隨時間變化的係數 a_{ij}(t) 仍然是完全線性的。