李普希茨條件下的存在唯一性定理（existence-and-uniqueness theorem under Lipschitz conditions）

這是 SDE 的基礎適定性定理：它給出對係數 b 與 sigma 乾淨可驗的條件，在此之下方程 dX = b(X) dt + sigma(X) dB 對每個初始條件都有唯一強解。它是 ODE 中皮卡德-林德洛夫定理的隨機對應物，也是你每次寫下新 SDE 想知道它確實定義了一個過程時首先援引的結果。

假設是全局李普希茨條件與線性增長條件。李普希茨：存在常數 K 使對所有 x, y 有 |b(x) - b(y)| + |sigma(x) - sigma(y)| <= K |x - y|。線性增長：|b(x)| + |sigma(x)| <= K(1 + |x|)。在此之下（並有平方可積、獨立的初始條件），存在唯一的連續適應過程 X_t 解該積分方程，它是強解，且有有限動差：E[sup_{s <= T} |X_s|^2] < infinity。證明是隨機情形的皮卡德迭代：令 X^(n+1)_t = X_0 + integral_0^t b(X^(n)_s) ds + integral_0^t sigma(X^(n)_s) dB_s，用柯西-施瓦茲界估漂移項、用伊藤等距 E[(integral sigma dB)^2] = E[integral sigma^2 ds] 估擴散項，得連續迭代間的 L^2 距離，再用格朗沃不等式得到壓縮；極限解此 SDE，唯一性由同一估計得出。線性增長正是防止解在有限時間內爆炸到無窮（無爆炸）的條件。

為何重要與條件在何處起作用：全局李普希茨買到存在與逐路徑唯一性（因而由雅馬達-渡邊得唯一強解），線性增長買到無爆炸與有限動差。誠實的提醒是真實的。去掉李普希茨可能失去唯一性（確定性的 dx/dt = sqrt(|x|) 且 x_0 = 0 已有許多解）。去掉線性增長解可能在有限時間爆炸（dX = X^2 dt 爆炸）。許多重要 SDE——幾何布朗運動（全局李普希茨，沒問題），但 CIR／貝索（平方根擴散，僅局部赫爾德）或具超線性漂移的 SDE——落在定理確切假設之外，需要更精細的工具：局部李普希茨加李雅普諾夫函數證無爆炸，或雅馬達-渡邊平方根條件證逐路徑唯一性。