伊藤等距（Ito isometry）
/ EE-toh (Itô) /
伊藤等距是讓對布朗運動的隨機積分得以整個建構起來的那條核心等式。由於布朗路徑具無界變差，我們無法逐路徑定義 integral H dB；取而代之，我們需要一種控制積分大小的方法，好讓我們能透過取極限的論證，把積分從一小類明確的積分子擴展到一大類。伊藤等距正好提供了這種控制：它斷言隨機積分的 L^2 範數等於積分子對時間的 L^2 範數。它把一個分析問題（這個極限存在嗎？）轉化為一個希爾伯特空間問題（這個映射是等距嗎？），而答案是肯定的。
精確地說，令 H 是簡單可料過程（或經擴展後，任何滿足 E[ integral_0^T H_s^2 ds ] < infinity 的可料過程），令 I_T(H) = integral_0^T H_s dB_s 為它對標準布朗運動 B 的隨機積分。則 E[ ( integral_0^T H_s dB_s )^2 ] = E[ integral_0^T H_s^2 ds ]。換言之：積分的二階動差等於積分子平方的期望積分。因此映射 H -> integral_0^T H dB 是從可料積分子的 L^2 空間（範數由右式給出）到機率空間的 L^2（範數由左式給出）的線性等距。對簡單積分子的證明只需一行計算：交叉項消失，因為在不相交區間上 B 的增量在給定積分子值（在左端點即已知）下是獨立且中心化的；對角項則由 E[(B_{t_{k+1}} - B_{t_k})^2 | F_{t_k}] = t_{k+1} - t_k 給出 E[H_{t_k}^2] * (t_{k+1} - t_k)。
這是隨機積分的承重牆。由於簡單可料過程在積分子的 L^2 中稠密，且積分恰好保持 L^2 距離，藉由目標希爾伯特空間的完備性，積分便唯一且連續地擴展到整個 L^2——積分子的柯西序列映到積分的柯西序列，其極限定義出極限積分子的積分。不可捨棄的關鍵假設：積分子必須是可料的（用增量之前嚴格的資訊來取值，交叉項的獨立性才成立）且平方可積。若改在中點取值（斯特拉托諾維奇），交叉項便不再消失，這個乾淨形式的等距就失效了。另有條件式／流動版本：E[ (integral_0^T H dB)^2 | F_t ] 關聯到從 t 起的積分，這正是用以證明積分是具正確二次變差的鞅的工具。
取 H_s = B_s 本身，計算 E[ ( integral_0^T B_s dB_s )^2 ]。由等距，這等於 E[ integral_0^T B_s^2 ds ] = integral_0^T E[B_s^2] ds = integral_0^T s ds = T^2 / 2。（可用伊藤公式交叉驗證：它給出 integral_0^T B dB = (B_T^2 - T)/2，其二階動差確為 T^2/2。）
等距能在從不逐路徑求值的情況下計算隨機積分的二階動差——這正是整套建構的要旨。
等距是 L^2 陳述，要求積分子可料且平方可積；它對斯特拉托諾維奇積分並不成立，而對非平方可積的可料積分子，則須用局部化把積分定義為局部鞅。