伊藤積分的建構（construction of the Ito integral）
/ EE-toh /
伊藤積分的建構回答了第一冊只能略述的問題：給定布朗運動 B 與一個可料、平方可積的過程 H，當積分子的路徑具無界變差、禁止任何逐路徑的黎曼-斯蒂爾傑斯定義時，integral_0^T H_s dB_s 究竟是什麼？答案是一個 L^2 極限，而非逐路徑極限，整套建構正是泛函分析中「先在稠密子空間上定義，再以連續性擴展」策略的乾淨範例，而伊藤等距提供了連續性。
建構分三個樂章進行。第一，在簡單可料積分子上，以明確的有限和 integral_0^T H dB = sum_k xi_k (B_{t_{k+1}} - B_{t_k}) 定義積分；這毫無歧義且不需任何極限。第二，在此類別上驗證伊藤等距：E[ (integral_0^T H dB)^2 ] = E[ integral_0^T H_s^2 ds ]，故積分是從簡單積分子到機率空間 L^2 的線性等距。第三，援引稠密性與完備性：簡單可料過程在滿足 E[integral_0^T H^2 ds] < infinity 的可料過程希爾伯特空間 H^2 中稠密，而機率空間的 L^2 完備；定義在度量空間稠密子空間上的等距，可唯一地擴展為整個空間上的連續（實則等距）映射。具體地，給定任何 H 屬於 H^2，取簡單的 H^(n) -> H（於 H^2 中）；等距使 integral H^(n) dB 成為 L^2 中的柯西序列，其極限依定義即為 integral H dB，且極限不依賴於逼近序列。然後把積分定義為一個過程，對所有 t 的 integral_0^t H dB，並驗證它可取為對 t 連續。
在平方可積之外，還可藉局部化進一步擴展：若 H 僅是可料且幾乎必然 integral_0^T H_s^2 ds < infinity（不要求期望有限），便在 H^2 的累積積分首次達到 n 的時刻 tau_n 停止，在每段上套用 L^2 理論，再縫合結果；所得的隨機積分是連續局部鞅而非真正的鞅。建構所贏得的性質正是處處被使用的那些：對 H 的線性、積分是從 0 出發的連續（局部）鞅、伊藤等距（在 L^2 情形）、以及二次變差 [integral H dB]_t = integral_0^t H_s^2 ds。誠實的提醒：伊藤積分是定義到不可區分為止的等價類，收斂是 L^2 的（或局部化後依機率的）而非逐路徑的，且 H 的可料性在每一步都不可或缺——這與你由天真的逐路徑斯蒂爾傑斯積分所得的物件不同，後者在此根本不存在。
要定義 integral_0^T B_s dB_s，用簡單積分子 H^(n)_s = B_{t_k}（於網目 T/n 的 (t_k, t_{k+1}] 上）逼近連續積分子 B。則 integral H^(n) dB = sum B_{t_k}(B_{t_{k+1}} - B_{t_k})，一個簡短的代數恆等式把它改寫為 (B_T^2 - sum (B_{t_{k+1}} - B_{t_k})^2)/2。當網目縮小，增量平方之和在 L^2 中收斂到 T，因此 L^2 極限為 integral_0^T B dB = (B_T^2 - T)/2——多出來的 -T/2 正是無界變差與左端點約定的指紋。
此建構給出 integral_0^T B dB = (B_T^2 - T)/2；普通微積分本會預測 B_T^2 / 2，而少掉的 -T/2 正是伊藤修正。
積分過程可（且按約定）取為對 t 連續，而它只有在 L^2 條件 E[integral H^2 ds] < infinity 下才是鞅；在較弱的逐路徑條件下，它僅是連續局部鞅，未必是真正的鞅。