伊藤積分作為鞅（the Ito integral as a martingale）
/ EE-toh /
採用左端點（可料）約定最深刻的回報之一，就是所得的伊藤積分本身是鞅。這並非裝飾性的特徵：它意味著整套鞅論工具——選擇停止、極大不等式與杜布不等式、伯克霍爾德-戴維斯-甘迪不等式、收斂定理——都能免費套用到隨機積分上。這正是伊藤積分成為隨機分析自然物件的原因，也是為何在無套利世界中，「integral H dB」能描述一個其值為公平賭局的自融資交易策略。
精確地說：若 H 可料且 E[ integral_0^T H_s^2 ds ] < infinity，則過程 M_t = integral_0^t H_s dB_s 是一個連續、平方可積的鞅，M_0 = 0、均值為零（E[M_t] = 0），且二次變差 [M]_t = integral_0^t H_s^2 ds。鞅性質 E[M_t | F_s] = M_s（s <= t）由建構承襲而來：在簡單積分子上，M 在 (s, t] 上的增量是若干項 xi_k (B_{t_{k+1}} - B_{t_k}) 之和，其中高度為 F_{t_k}-可測、布朗增量在給定 F_{t_k} 下中心化且獨立，故每項的條件均值為零；此性質在 L^2 極限下存活，因條件期望在 L^2 中連續。相伴的事實 M_t^2 - integral_0^t H_s^2 ds 也是鞅，這辨識出二次變差，並是伊藤等距的流動形式（取期望即還原 E[M_t^2] = E[integral_0^t H^2 ds]）。
它在何處發揮作用、提醒又藏在何處。結合杜布極大不等式可得 E[ sup_{s <= T} M_s^2 ] <= 4 E[M_T^2] = 4 E[integral_0^T H^2 ds]，這是 SDE 存在性證明背後的基本估計。配合選擇停止，便能在停時上對隨機積分求值。誠實而重要的提醒：真正的鞅性質需要 L^2（或至少可積性）條件。若 H 僅局部平方可積，integral H dB 便只是連續局部鞅，而局部鞅可能不是鞅——一個嚴格局部鞅雖然 M_0 = 0 暗示公平賭局，其 E[M_t] 卻隨 t 嚴格遞減。所以「伊藤積分是鞅」恰在積分子期望平方可積時為真；否則須把「鞅」換成「局部鞅」，並在引用均值為零或選擇停止前，檢驗諾維科夫型或一致可積條件。
積分 M_t = integral_0^t B_s dB_s = (B_t^2 - t)/2 是鞅：的確，對所有 t 有 E[(B_t^2 - t)/2] = (t - t)/2 = 0，而 (B_t^2 - t)/2 正是其二次變差為 integral_0^t B_s^2 ds 的中心化鞅。對照之下，著名的嚴格局部鞅——三維貝索過程的倒數 1/|W_t|（W 為自非 0 處出發的三維布朗運動）——是局部鞅，但 E[1/|W_t|] 嚴格遞減，故非真正的鞅。
平方可積積分子：真正的鞅。1/|W| 之例顯示局部鞅可能暗自洩漏期望。
切勿自動假設 E[integral H dB] = 0——那需要真正的鞅性質（L^2 或 UI 條件）。對嚴格局部鞅而言，即便積分從 0 出發，其期望仍可能嚴格為負。