局部鞅（local martingale）
局部鞅是一個「在時間上局部地」為鞅的過程——一旦你在一列趨於無窮的適當停時處將它停止，它就成為真正的鞅，即使未停止的過程不滿足成為真鞅所需的可積性。局部鞅是隨機微積分中鞅類自然而不可或缺的擴大：對鞅的隨機積分、以及一般半鞅的鞅部分，都是局部鞅但通常不是真鞅，因此整個理論必須在這個層次上表述。
定義：M_0 = 0 的 cadlag 適應過程 M 稱為局部鞅，若存在一列趨於無窮的停時 T_n（局部化或約化序列），使得對每個 n，停止過程 M^{T_n}_t = M_{t and T_n} 都是一致可積的（真）鞅。局部化的要點在於擊敗可積性的失效：即使原始過程的 E[|M_t|] = infinity，每個停止片段仍可積且公平。每個（真）鞅都是局部鞅（取 T_n = n），但反之不成立——而這個差距是本學科最重要的誠實事實之一。下方有界的局部鞅（或 DL 類，或對每個 n 其族 {M_T : T <= n} 一致可積者）是真鞅；特別地，非負局部鞅是上鞅，故 E[M_t] <= E[M_0]，等號（真鞅行為）當且僅當該上鞅均值為常數時成立。
為何重要與核心提醒：嚴格局部鞅是不是真鞅的局部鞅，而它們確實存在。經典例子是逆貝索-3 過程，或等價地三維布朗運動遠離 0 處的 1/|B|（及其倒數型親戚）：它是正的局部鞅，E[M_t] 隨 t 嚴格遞減，故 E[M_t] < E[M_0]——儘管局部公平，鞅性質仍失效。這不是需要避免的病態；它正是為何選擇權定價的「泡沫」、SDE 弱解與強解之別、以及 E[隨機指數] = 1 的失效（Novikov 條件恰是補救）全都取決於區分局部鞅與真鞅。切勿假設局部鞅有常數期望。
設 B 為自原點以外出發的三維布朗運動，令 M_t = 1/|B_t|。伊藤公式顯示 M 是局部鞅（1/|x| 在 R^3 中於原點外調和），且為正，故為上鞅；但 E[M_t] 嚴格遞減，故 M 是嚴格局部鞅——局部而非真。
逆貝索-3 過程：一個均值嚴格遞減的正局部鞅——典範的嚴格局部鞅。
局部鞅未必是真鞅；安全的充分條件是下方有界加上「上鞅且均值常數」準則、被可積變數控制、或 DL 類——切勿無端假設期望為常數。