一致可積鞅（uniformly integrable martingale）
並非每個鞅都會安定下來。布朗運動 B_t 是鞅，但 B_t 在 t -> infinity 時不收斂（它震盪至正負無窮）；指數鞅 exp(B_t - t/2) 幾乎必然收斂到 0，同時保持期望為 1，因此它的極限也不是它的「真正」值。一致可積性正是區分那些在無窮處表現良好的鞅——那些會閉合成單一終端隨機變數、並將其表示為條件期望過程的鞅——與那些逃逸到邊界的鞅之間的額外條件。
一族隨機變數若其期望的尾部被一致地控制，便稱為一致可積（UI）：對該族取上確界的 E[|X| ; |X| > K] 在 K -> infinity 時趨於 0。鞅 (M_t) 稱為 UI 鞅，若集合 {M_t : t >= 0} 一致可積。基本定理是一個緊密的等價：cadlag 鞅 (M_t) 為 UI 若且唯若它幾乎必然且在 L^1 中收斂到極限 M_infinity，若且唯若它可閉，意即存在可積隨機變數 X 使得對所有 t 有 M_t = E[X | F_t]（此時可取 X = M_infinity）。對這樣的鞅，族 {M_t} 恰好是 M_infinity 的條件期望，而選擇停止定理對所有停時（有界與否皆然）皆成立。
這是支撐鞅表示定理、李維上升定理、以及最乾淨形式選擇停止的連續時間引擎。關鍵的誠實：僅有 L^1-有界（sup_t E[|M_t|] < infinity）只給出幾乎必然收斂（杜布），並不給 L^1 收斂、也不給可閉性——exp(B_t - t/2) 是 L^1-有界（期望為 1）卻收斂到 0，故 E[M_infinity] = 0 != 1 = E[M_0]；一致可積性正是把幾乎必然收斂升級為 L^1 收斂並保住均值所需的條件。對某 p > 1 在 L^p 中有界的鞅自動 UI；單靠 L^1-有界並不足夠。
固定一個可積隨機變數 X 與一個濾過 (F_t)，令 M_t = E[X | F_t]。這個 M 自動是 UI 鞅（其成員皆為單一可積 X 的條件期望，是經典的 UI 族），它幾乎必然且在 L^1 中收斂到 E[X | F_infinity]，且選擇停止在任意停時 T 給出 M_T = E[X | F_T]。
可閉鞅恰恰是單一可積隨機變數的條件期望過程。
常見錯誤是把 L^1-有界當作能給出可閉性或保住均值；嚴格局部鞅 exp(B_t - t/2) 是 L^1-有界且 E = 1 但極限為 0——唯有一致可積性能把鞅閉合。