杜布連續時間正則性定理（Doob's regularity theorems）
/ Doob = doob /
從離散時間過渡到連續時間時，首要任務是賦予路徑意義。僅憑定義式 E[M_t | F_s] = M_s，鞅只是一族 L^1 隨機變數；尚無任何依據說明路徑 t -> M_t(omega) 連可測都談不上，更別說連續或有極限。杜布正則性（或正則化）定理就是這樣一組結果：在通常條件下製造出良好的路徑版本，再描述其行為與收斂。它們是離散杜布收斂定理的連續時間對應，也是連續時間鞅論得以起步的基石。
核心結果有四。正則化：在濾過滿足通常條件後，每個鞅（更一般地，每個使 t -> E[X_t] 右連續的上鞅）都有 cadlag 修正；證明依賴沿有理數套用杜布上穿不等式，以界定路徑橫越任一帶狀區間的震盪次數，迫使沿有理數的左右極限存在，再以之宣告為 cadlag 路徑。幾乎必然收斂：L^1-有界的 cadlag（下/上）鞅幾乎必然收斂到一個可積極限（同樣以上穿論證）。L^1 / 可閉收斂：cadlag 鞅在 L^1 中收斂且可閉，若且唯若它一致可積。L^p 收斂與杜布極大不等式：對 p > 1，L^p-有界鞅在 L^p 中收斂並滿足 E[(sup_{s <= t} |M_s|)^p] <= (p/(p-1))^p E[|M_t|^p]，以終端動差控制整條移動最大值。
這些定理正是為何我們總能假設鞅是 cadlag、能取鞅的極限、能界定路徑的上確界——這些都是選擇停止、隨機積分與杜布-邁耶分解的前提。誠實的提醒：帶有 (p/(p-1)) 常數的極大不等式需要 p > 1，在 p = 1 時確實失效（那裡只有弱型不等式 lambda P(sup |M_s| > lambda) <= E[|M_t|]）；L^1-有界只給幾乎必然收斂，而非 L^1 收斂；且路徑右連續性需要濾過的通常條件，否則 cadlag 版本未必存在。
把杜布 L^2 極大不等式套用於布朗運動，得 E[(sup_{s <= t} B_s)^2] <= 4 E[B_t^2] = 4t，立即以終端變異數控制路徑的移動最大值——這是個典型用法，能由單一時刻的動差導出逐路徑的估計。
極大不等式（常數 (p/(p-1))^p，此處 p=2 給出 4）把終端動差界轉化為對整條路徑的界。
乾淨的 L^p 極大不等式需要 p > 1；在 p = 1 時退化為弱型不等式，並有相關的 L log L 界——一個常見的錯誤來源是在 p = 1 時引用 (p/(p-1)) 形式。