濾過的通常條件（usual conditions）

濾過（filtration）是機率空間上一族隨時間遞增的 σ-代數 (F_t)，以連續時間 t >= 0 為指標，F_t 記錄了到時刻 t 為止所有可觀測的資訊。在離散時間裡，我們可以不太計較哪些事件恰好落在 F_t 中，但連續時間的指標集是不可數的，天真的定義會出問題：像「路徑在時刻 t 前已到達水準 a」或「在 s <= t 上的上確界超過 c」這類事件未必可測，而沿著 t 之前不可數多個時刻取極限的資訊也可能溢出 F_t。通常條件就是兩個馴服這些病態現象的技術性正則要求，幾乎是所有連續時間鞅論的標準假設。

具體而言，一個濾過滿足通常條件，若它是完備的（每個 F_t 都含有整個空間的所有 P-零測集，使得幾乎必然的陳述能乾淨地傳遞，過程的修正仍保持適應）並且是右連續的（F_t 等於對所有 s > t 取 F_s 的交集，記為 F_t = F_{t+}，亦即「t 之後一瞬間所知道的」在 t 時已經知道）。給定任一由某過程生成的原始濾過，先補入所有零測集、再取右極限，便得到它的通常擴充；其結果是含原濾過且滿足通常條件的最小濾過。

為何要堅持這些？右連續性正是讓你能為鞅選取 cadlag（右連續且有左極限）修正的關鍵，它使開集與閉集的擊中時間成為停時，並支撐著起始時定理（Debut theorem）與選擇截面定理。完備性使適應性在幾乎必然相等下保持穩定。代價很小：完備化只以零測集擴大 σ-代數，而對費勒過程或布朗運動而言，擴充後的濾過自動右連續（布魯門塔爾 0-1 律就是 F_0 = F_{0+} 的陳述）。誠實的提醒是：通常條件是便利而非無關緊要——捨棄右連續性會真正破壞選擇停止與杜布-邁耶的機制，而某些現代論述在需要原始、可能非完備的濾過時，會刻意避開完備化。