高等鞅論

可料 σ-代數(predictable sigma-algebra)

連續時間隨機積分不能對任意適應過程積分:它必須使用「在每一瞬間之前」即可知道、而非在該瞬間才知道的被積函數。可料 σ-代數正是「能提前一瞬間知道」的嚴格形式化,它是讓伊藤積分、杜布-邁耶補償子、與可料二次變差有定義的被積函數類。其旁尚有一個略大的 σ-代數,即可選 σ-代數,由「在該瞬間」即可知道的過程構成;兩者之間的差距對連續過程是不可見的,但對跳躍則是決定性的。

形式上,過程被視為乘積空間 Omega x [0, infinity) 上 (omega, t) 的函數。可料 σ-代數 P 是這乘積上由所有左連續適應過程生成的 σ-代數——等價地,由「可料矩形」A x (s, t](A 屬於 F_s)生成。一個過程若 P-可測便稱為可料;其原型是左連續適應過程,以及更一般地它們的極限。可選 σ-代數 O 則由 cadlag(右連續)適應過程生成,並包含 P;可選過程是適應且由 cadlag 構成的。直觀如此:在時刻 t 取值的左連續被積函數使用嚴格在 t 之前的資訊(其值是左極限),故為「可料」;cadlag 過程可恰在 t 跳躍,因而編碼了 t 處的資訊。對可料過程 H,其在停時 T 的值 H_T 是 F_{T-}-可測的。

為何重要:對鞅的隨機積分只為可料被積函數而建,這並非吹毛求疵——若容許被積函數對它所乘的那個跳躍作出反應,就等於「看到未來」並破壞鞅性質(你大可把 dM 對 dM 的符號積分而製造出正向漂移)。杜布-邁耶分解產生一個可料的遞增過程,正是為了使其唯一;可料二次變差 <M> 即是可料補償子。誠實的微妙之處正在於跳躍時刻的可料對可選之別:由鞅性質,鞅的跳躍在精確意義下是不可料的(其可料投影為 0),這正是補償子必須可料的原因;混淆這兩個 σ-代數是跳躍過程微積分中經典的初學者錯誤。

簡單可料被積函數為 H_t = sum H_i 1_{(t_i, t_{i+1}]}(t),其中 H_i 屬於 F_{t_i}:一個階梯函數,其在 (t_i, t_{i+1}] 上的高度已在左端點 t_i 選定。把這樣的 H 對鞅 M 積分並得回一個鞅,正是建構整個伊藤積分的基本情形;若改用 F_{t_{i+1}}-可測的高度便會破壞它。

可料性是「不偷看下一步」的條件;它正是使隨機積分保持為鞅的關鍵。

可料嚴格小於可選,差別完全在跳躍處;對連續過程此區別無關緊要,但對跳躍過程,選用被積函數的可選版本可能摧毀鞅性質。

又称
predictable processesprevisible sigma-algebrathe optional sigma-algebra (contrast)可預測 σ-代數