雅馬達-渡邊定理（Yamada-Watanabe theorem）
/ yah-MAH-dah wah-tah-NAH-beh /
雅馬達-渡邊定理是 SDE 弱解與強解兩種概念之間的橋樑。它回答結構性問題：弱存在、強存在、分布唯一性與逐路徑唯一性彼此如何關聯？最重要的結論是一個乾淨的蘊涵：若 SDE 有弱解且逐路徑唯一性成立，則它有（唯一的）強解，且分布唯一性也成立。因此你可不必直接把解建構成雜訊的泛函就確立強可解性——你只需一個弱解（常很容易，經由鞅問題或吉爾薩諾夫）加上一個給出逐路徑唯一性的比較估計。
精確陳述結合兩個事實。第一，逐路徑唯一性蘊涵分布唯一性（路徑被固定後分布即被固定）。第二，也是深刻之處，弱存在加逐路徑唯一性蘊涵強解存在：存在一個可測映射 F 使任何解都可寫成 X = F(X_0, B)，即解確實是初始條件與驅動布朗路徑的確定性泛函。其證明用斯科羅霍德／Gyongy-Krylov 風格的論證：在同一空間上以同一雜訊建構兩個弱解，援引逐路徑唯一性迫使兩者相等，再由此萃取出可測的解映射。現代常見的表述是：弱存在 + 逐路徑唯一性 <=> 強存在 + 分布唯一性。
這個定理是實務者能混用技術的原因：以弱方式證存在（分析較軟）、以逐路徑方式證唯一（李普希茨或雅馬達-渡邊條件估計較精確），即可得唯一的強解。配套的雅馬達-渡邊唯一性條件處理非李普希茨的擴散係數：一維逐路徑唯一性在 |sigma(x) - sigma(y)| <= h(|x - y|) 且 integral_{0+} h(u)^{-2} du = infinity 時成立（例如 h(u) = sqrt(u)，涵蓋 CIR／貝索平方根擴散）。誠實的提醒：逆向是微妙的，逐路徑唯一性嚴格強於分布唯一性——沒有它就無法把分布唯一性升級為強解（田中方程是常駐反例）。
對於 CIR 過程 dX = (a - b X) dt + sigma sqrt(X) dB，平方根擴散在 0 處非李普希茨，故標準定理不適用。但 |sqrt(x) - sqrt(y)| <= sqrt(|x - y|)，而 h(u) = sqrt(u) 滿足 integral_{0+} du/u = infinity，故雅馬達-渡邊條件給出逐路徑唯一性；配合弱存在即得唯一強解。
雅馬達-渡邊平方根條件挽救了非李普希茨的 CIR 擴散。
蘊涵方向是弱存在 + 逐路徑唯一性 => 強存在；它不從分布唯一性出發。田中方程有弱存在與分布唯一性，但因缺逐路徑唯一性而無強解。