分布唯一性（uniqueness in law）

分布唯一性（弱唯一性）是說：對每個起始點，SDE 的解本質上只有一個可能的機率分布。它並不說解路徑唯一——不同的弱解可能活在不同機率空間上、描出確實不同的路徑——但它們都有相同的有限維分布，因而作為路徑空間中的隨機元有相同分布。在應用中（通常如此）你所量測的是分布而非特定軌跡時，這正是恰當的唯一性概念。

精確地說：若任兩個弱解 (X, B) 於 (Omega, F, P) 與 (X', B') 於 (Omega', F', P')、滿足 X_0 = X'_0 = x，都有 law(X) = law(X')（作為路徑空間 C([0,infinity), R^d) 上的測度），則 SDE dX = b(X) dt + sigma(X) dB 自起始點 x 具分布唯一性。這確實弱於逐路徑唯一性，後者比較的是在同一空間上由同一布朗運動驅動的 X 與 X'。分布唯一性正是鞅問題所給出的唯一性形式：若生成元 L 的鞅問題適定，則擴散的分布被確定，且解是強馬可夫過程。證明它的工具包括鞅問題適定性定理（斯特魯克-瓦拉丹，在 a = sigma sigma^T 連續且非退化下）、用於變漂移的吉爾薩諾夫定理，以及顯式轉移密度。

為何重要：分布唯一性使「生成元為 L 的擴散」成為一個良定義的對象——它的半群、生成元，以及所有分布量 E[g(X_t)] 都無歧義。與其他概念的誠實接口是雅馬達-渡邊環：逐路徑唯一性蘊涵分布唯一性，且弱存在加逐路徑唯一性給出唯一強解；但僅有分布唯一性並不蘊涵逐路徑唯一性。一個乾淨的警告：在係數僅連續（非李普希茨）而逐路徑唯一性可能失效時，通常是擴散矩陣的非退化性挽救了分布唯一性。