漂移與擴散係數（drift and diffusion coefficients）

在 SDE dX_t = b(X_t) dt + sigma(X_t) dB_t 中，函數 b 是漂移係數，函數 sigma 是擴散係數。兩者一起完整指定了局部動態：b 告訴你過程平均上傾向往哪移動，sigma 告訴你它被雜訊搖晃得多劇烈。它們回答了實務建模的問題「我要寫下哪些資料才能定義我的擴散？」——答案就是這兩個狀態的函數（加上初始條件）。

它們的意義是無窮小且機率性的。對 X_t = x 取條件並看極短的後續時間，期望位移為 E[X_{t+h} - X_t given X_t = x] = b(x) h + o(h)，故 b(x) 是瞬時平均速度；位移的共變數為 E[(X_{t+h} - X_t)(X_{t+h} - X_t)^T given X_t = x] = a(x) h + o(h)，其中 a(x) = sigma(x) sigma(x)^T 是擴散矩陣。因此 sigma 控制雜訊的大小與方向，但只透過對稱非負矩陣 a = sigma sigma^T 起作用；正是這個 a 進入生成元與福克-普朗克方程。不同的 sigma 給出相同的 a 就會得到相同的分布，這正是弱解只看見 a 的原因。

這些局部係數恰好是傳入生成元 L f = sum_i b_i partial_i f + (1/2) sum_{i,j} a_ij partial_i partial_j f 以及傳入密度的福克-普朗克方程的資料。一個誠實的提醒：寫 dX = b dt + sigma dB 需固定伊藤慣例；同一物理過程在斯特拉托諾維奇慣例下的漂移會差一個伊藤-斯特拉托諾維奇修正項 (1/2) sigma sigma'，所以除非也說明慣例，否則「漂移」並非與座標無關。此外，當 sigma 依賴 x（乘性雜訊）時，二階伊藤項會真正改變動態，使其異於用同一 b 的確定性 ODE。