跨越支割線的不連續（the discontinuity across a branch cut）

畫一條支割線換來了單值性，但這並非免費。沿著割線本身，函數拒絕連續：從一側與從另一側趨近割線上的同一點，會得到兩個不同的極限。這道跳變，是我們所壓制的多值性留下的可見傷疤。

以沿負實軸切開的主對數為例，固定一個負實點，比方 -2。從上半平面趨近時輻角趨向 +pi，所以 Log 趨向 ln 2 + i pi。從下方趨近時輻角趨向 -pi，所以 Log 趨向 ln 2 - i pi。兩個邊界值之差是 2 pi i，恰是指數函數的週期，也恰是各分支之間的間距。實部 ln|z| 跨越割線時連續；只有虛部（輻角）跳變。對其他函數，跳變的大小由其分支結構決定：平方根跳變的是 -1 這個因子（其兩個邊界值互為相反數），而非加性的 2 pi i。

這道跳變遠非麻煩，而是一件工具。留數計算中的鎖孔圍道與啞鈴圍道刻意沿著割線的兩側行走；因為被積函數在兩側相差一個已知因子，兩段直線部分不會相消，而它們的差正是讓你計算像 x^(a-1) / (1 + x) 從 0 到無窮的積分這類問題的關鍵。整套技巧都仰賴精確知道這個不連續。教訓是要尊重割線：絕不讓圍道意外穿越它，而當你沿著它行走時，要把跳變算進去。