含分支點的積分（integrals with branch points）

到目前為止，圍道方法都假設被積式是單值的——有理函數、指數函數。但許多重要的實積分含有分數冪 x^s、平方根、或對數 log x，而這些本質上是多值的：當你繞原點走一圈，x^s 回來時乘上了 e^(2 pi i s)，log x 回來時增加了 2 pi i。除非你控制這種多值性，否則無法把這種函數繞閉迴路積分。這就是含分支點積分的整個門類。

統一的想法是畫一條支割線——一條圍道被禁止跨越的曲線——把多值函數釘死在單一、確定的分支上。然後你選一條緊貼切割、利用函數跨切割跳躍的圍道。兩種標準形狀承擔了大部分工作：鎖孔圍道，用於單一分支點、切割通向無窮（典型如 [0, 無窮) 上的 x^(s-1) f(x) 與帶對數權重的積分）；以及啞鈴圍道，用於由有限切割相連的兩個分支點（典型如有限區間上二次式的平方根）。兩者中，切割的上下緣帶有函數的不同值，故其貢獻合成目標積分的一個已知倍數，由留數定理收尾。

一個反覆出現的附贈技巧：在原本是有理的被積式中插入一個額外的 log z 因子、繞鎖孔積分，常能算出一個原本毫無對數的積分，因為 log z 跨切割的跳躍把想要的實積分孤立出來。誠實的警告是：這裡的一切都取決於沿整條圍道一致地固定分支；一個草率的 arg z 選擇就會使跳躍出錯、答案失去意義。支割線積分之所以強大，正是因為它把多值性從障礙變成引擎。