延期寿险精算函数（deferred insurance）

延期寿险是要等过了一段「等待期」后才生效的保障。前 m 年完全没有身故给付；从第 m 年起，照常提供身故给付。想象一家雇主承诺给员工人寿保障，但要服务满五年才生效——保障是真实的，只是在延期期满之前一直处于休眠状态。被保险人越可能早逝，这种「晚点才开启」的设计就为保险公司省得越多。

它的价值记作 m|A_x（m 之后的横杠表示「延期 m 年」），是一份只在 m 年之后才开始赔付的终身寿险的精算现值。你可以直接计算：把折现、按死亡率加权的身故给付只对第 m+1 年及以后求和，完全忽略前 m 年。更优雅的是用减法：m|A_x = A_x 减 A^1_{x:m}，即终身寿险价值减去本应覆盖前 m 年的定期寿险。它也可写成 m 年纯生存保险乘以对年长生命的终身寿险：m|A_x = mE_x 乘以 A_{x+m}，读作「先活过延期期，再以届时年龄买终身寿险」。

延期寿险是定期寿险的天然互补——定期覆盖前段窗口，延期覆盖其后的一切，二者合起来重建终身寿险。凡是给付带等待期、归属条件或延后起始时，它都会出现，而同样的「延期」思路可直接搬到延期年金。要避免的误解是模糊地认为「延期就是因为晚付所以便宜」；它便宜的精确原因在于：它扣掉了所有早年的身故给付，而对年轻生命来说，这些早年给付权重很高且折现很轻。