整数余命与完全余命

一个人还能活多久，可以用两种方式来度量，而度量的选择会改变计算。完全余命是精确的剩余时间，连小数都算在内——一个 65 岁、于 84 岁 7 个月时去世的人，其完全余命约为 19.58 年。这就是连续随机变量 T(x)。整数余命则干脆扔掉小数部分，只数已完成的整年：同一个人完整地度过了 19 年，故整数余命 K(x) = 19。

为何要费心用这个更粗糙、向下取整的版本？因为保险大多按年度节奏支付。保费一年缴一次，年金一年付一次，而死亡给付也可视为在死亡当年年末支付。对这些计算，你只需知道一个生命活过了多少个整年，那恰好就是 K(x) = T(x) 的整数部分。连续的 T(x) 则用于在死亡精确时刻支付的给付以及理论研究。K(x) 是离散（整数）随机变量；T(x) 是连续的。

二者紧密相连：K(x) = T(x) 的向下取整，且平均而言 T(x) 大致等于 K(x) 加约半年，因为死亡大致可视为在其最后一年内的任何时刻均匀地发生。把这一区别理清，可避免一个经典错误——把整数年金公式与完全余命期望混用，从而重复计入或漏掉生命最后那半年。