覆蓋空間（covering space）

覆蓋空間是把「數葉坐落在一個底上」這個想法精確化的拓撲方式。你有一個底空間 X（想成去心平面）與一個更大的空間 Y，以及一個從 Y 往下到 X 的映射 p（覆蓋映射）。其定義性質是：X 的每一點都有一個小鄰域，它在 Y 中的原像是一疊不相交的副本、每份都被同胚地映下去——像疊在煎盤上方的煎餅，每張煎餅都是底下那塊的忠實副本。在局部上 Y 看起來像數份不相交的 X 副本，儘管在全域上 Y 可以是連通的、形狀也相當不同。

與我們主題的關聯是直接的：一個多值函數的黎曼曲面，連同它的葉與往下回到 z 平面的投影，本質上就是一個覆蓋空間（一個分歧覆蓋，其中分支點是特殊的）。沿路徑延拓對應於覆蓋的一個基本性質，稱為路徑提升：給定下層 X 中的一條路徑與上層 Y 中的一個起點，存在唯一一種方式把路徑提升為 Y 中從該點出發的路徑。把下層的一條「迴圈」提升上去未必給出上層的迴圈——你可以回到同一個底點上方、卻在不同的葉上——而這個不匹配正是單值性，即你繞行所拾得的分支變化。所以整個路徑依賴性的故事，就是路徑經過覆蓋映射提升的幾何。

覆蓋把解析延拓化為乾淨的拓撲，而支配它的對象是底空間的基本群，即迴圈在形變意義下的群。有一個精確的字典（覆蓋空間的分類）：X 的連通覆蓋對應於它基本群的子群，而迴圈的單值性給出該群置換各葉的一個表示。對去心平面，基本群是整數（計數一條迴圈繞穿孔幾圈），這就是為何對數的單值性恰是每繞一圈加 2 pi i。在所有覆蓋之中，有一個是最大也最簡單的——萬有覆蓋。