沿路徑延拓
想像在一棟沒有直走廊的建築裡，把一支點燃的蠟燭從一個房間搬到另一個房間：你一步一步移動，每步都夠短，使下一個位置仍被你剛站過的地方照亮。沿路徑延拓對函數做的正是這件事。你從曲線起點的一個函數元素出發，然後讓一串互相重疊的圓盤沿曲線滑動，在相繼的點重新展開冪級數，使每個新元素都是前一個的直接延拓。當你抵達路徑終點時，你在那裡有一個函數元素——而依定義，這個終點元素就是起點元素沿「那條特定路徑」的延拓。
用平白的步驟說明這個程序。取一條從點 a 到點 b 的路徑 gamma，以及在 a 的一個初始元素（一個圓盤與一個冪級數）。用有限多個點 a = t_0, t_1, ..., t_n = b 覆蓋路徑，使相鄰的點夠近、讓相鄰圓盤重疊。在 t_0 你有你的級數；在 t_1 重新展開它（在點 gamma(t_1) 計算所有導數，該點仍在目前圓盤內，並形成新的泰勒級數）；這給出 t_1 的元素。再在 t_2 重新展開，如此繼續，直到產生 b 的元素。只要每次重新展開都可行（函數沿途保持解析、不會撞上無法繞過的奇點），這條鏈就成功，終點元素也就良好定義——而且它「不」依賴於你選了哪些中間點的細節，只依賴於路徑。
玄機所在、也正是這個觀念有趣的全部理由，就在「那條特定路徑」這句話。結果可能依賴於你從 a 到 b 走了哪條路徑。若兩條路徑以不同方式掃過一個奇點——例如延拓對數時一條從 0 左邊過、一條從 0 右邊過——終點元素就可能不同。延拓一般來說是依賴路徑的；只有在額外條件下（一個內部無奇點的單連通區域）才變成與路徑無關，而這正是單值性定理的內容。
把 Log z 從 z = 1 附近的某個起始分支沿上半圓延拓到 z = -1：arg z 的值從 0 滑升到 pi，故 log 在 z = -1 落在 log 1 + i pi = i pi。改把「同一個」起始分支沿下半圓延拓：arg 從 0 滑降到 -pi，落在 -i pi。相同起點、相同終點、兩條不同路徑——兩個相差 2 pi i 的答案。
終點的值可能依賴於所走的路線——這種路徑依賴性是多值性的種子。
沿路徑延拓只依賴於路徑、不依賴於你把它分得多細——但它確實可能依賴於路徑。除非兩條路徑在一個延拓總是可行的區域內同倫，否則終點相同並不保證結果相同。