函數元素（function element）
要謹慎地進行解析延拓，我們需要一個記帳單位：函數的一「頁」連同它的地址。函數元素正是如此——一個對 (D, f)，其中 D 是一個開圓盤、f 是定義在 D 上的解析函數。你可以把它想成局部快照：它記住一個中心、一個半徑、以及附近的值，通常打包成以 z_0 為中心的收斂冪級數 sum a_n (z - z_0)^n。這個元素並不假裝認識全域的函數；它只在自己的小圓盤上認識它。
於是延拓就是元素之間的一種關係。若兩個元素 (D_1, f_1) 與 (D_2, f_2) 的圓盤重疊，且 f_1 = f_2 在重疊處成立，則它們互為彼此的直接延拓。由於延拓的唯一性，在重疊處相符必然是在那裡的完全相符，所以這兩頁確實是同一個函數的兩種視角。一條元素鏈——每個都是下一個的直接延拓、圓盤彼此重疊——就是我們把函數從一處帶到另一處的方式：元素 1 到元素 2 到元素 3，像在彼此重疊的接力區傳遞接力棒。整個「沿路徑延拓」這個主題，就是研究這類鏈。
為何要費心搞這套形式？因為它把「局部」資料（一個圓盤份量的值）與「全域」對象（這些資料能延拓到的一切）分開來。同一個全域函數可以透過許多不同的元素鏈抵達，而元素給了我們精確的詞彙去比較這些路線——說清楚何時兩條路線送來同一頁、何時送來互相衝突的頁（如繞分支點時）。把一個元素縮小到它的中心、只保留冪級數，就得到更精簡的概念：芽。
對於對數，取元素 (D, f)，其中 D 是圓盤 |z - 1| < 1，且 f(z) = (z - 1) - (z - 1)^2/2 + (z - 1)^3/3 - ...，即 Log z 在 1 的泰勒級數。這單一元素認識 1 附近的 log。改在 i、再 -1、再 -i 重新展開、最後回到 1 附近，便產生一條元素鏈，把 log 的值繞原點走一圈。
一個元素 = 一個圓盤 + 一個冪級數。一條互相重疊的元素鏈把函數從一處帶到另一處。
元素在設計上就是局部的：除了自己的圓盤之外，它不攜帶任何全域資訊。兩個在某處相異的元素，仍可以都是同一個多值函數的正當頁（想想對數的兩個分支）。