繞迴圈所得的分支
取一個多值函數，在起點附近固定它的一個分支，然後讓那個分支沿一條閉迴圈走一圈、一邊走一邊延拓。當你回到出發處時，函數可能「不」回到原本的值：你抵達時手上拿著的是另一個分支。這就是迴圈的單值性（monodromy）——記錄你繞完一整圈後落在哪個分支的規則。它是多值性最鮮明的面貌：相同的點、相同的函數，但繞行已把你洗到了另一葉上。
兩個模型例子讓它變得具體。對於對數，從 z = 1 附近的主分支出發，逆時針繞原點延拓一圈。沿途 arg z 穩定增加，等你閉合迴圈時 arg 恰好增長了 2 pi，所以 log z 增加了 2 pi i。你回到 z = 1 時拿的不是值 0，而是 2 pi i——迴圈把你頂上了一個分支。繞 k 圈就拾得 2 pi i k；log 的分支構成一個以整數標號的無窮階梯。對於平方根，從 z = 1 附近 sqrt(z) 的某個值出發、繞 0 一圈：arg z 增長 2 pi，故 sqrt z = exp((1/2) log z) 被乘上 exp(i pi) = -1。你帶回的是起始值的「相反數」。再繞一圈又乘一次 -1，恢復原值——sqrt 恰有兩個分支，每繞分支點一圈就互換。
支配這一切的是迴圈繞奇點的同倫類。兩條能互相形變（不越過分支點）的迴圈產生相同的分支變化；一條收縮成一點（不圍住任何東西）的迴圈，依單值性定理，把你帶回原分支。所以「迴圈對應分支變化」這個指派，實際上是從去心區域的基本群到分支集合的對稱性的一個映射——單值性表示。對 log，這個群是整數（每繞一圈加 2 pi i）；對平方根，它只有兩個元素（恆等與互換）。
從 sqrt(1) = 1 出發沿單位圓延拓 sqrt(z)。寫 z = e^(i theta)，於是一個分支是 sqrt(z) = e^(i theta/2)。當 theta 從 0 跑到 2 pi，e^(i theta/2) 從 1 跑到 e^(i pi) = -1。回到 z = 1 時值是 -1、不是 1。只有再繞「第二」圈（theta 到 4 pi）後，e^(i theta/2) 才回到 1。因此 sqrt 有兩葉、需要繞兩圈才閉合。
繞 0 一圈翻轉 sqrt 的正負號；兩圈恢復。對數則每繞一圈就上升 2 pi i，永無止境。
可收縮的迴圈（不圍住任何分支點者）總是回到原分支——只有真正環繞奇點的迴圈才能改變它。平方根的單值性是有限的（階為 2）；對數的單值性是無限的（整數群）。