對數的多值性（the multi-valuedness of the logarithm）

說 log z 是多值的，聽起來像個缺陷，好像我們無法決定一個答案。更好的理解是：這是誠實的記帳。指數函數確實把許多輸入送到同一個輸出，所以把它還原確實會產生許多輸出，而對數只是把它們全部如實報告出來。

具體地說，log z = ln|z| + i(arg z + 2 pi k)，對所有整數 k。固定一個非零的 z。當 k 跑遍整數，你會得到一道垂直的複數值梯，它們的實部全是 ln|z|，虛部恰好相隔 2 pi。每一階都是合法的對數：把其中任何一個取指數都回到 z。更深的圖像是：當一個點沿逆時針方向繞原點轉一圈，它的輻角增加 2 pi，因此連續選取的 log z 值增加 2 pi i，並不回到出發點。這些值並非只是靜靜地排成一張清單；它們是透過繞著 0 處的分支點旋轉而到達的。

這種多值性不只是對數的怪癖。它是分支點、支割線與黎曼曲面的種子，並被一切建立在對數之上的東西所繼承，尤以複數冪 z^a 為甚。實務上的應對始終如一：要計算或求導，你在割開的平面上選定一個單值分支並守在其上；要理解整體結構，你就讓值繞圈。兩種觀點都正確，而其不確定性永遠是 2 pi i 的整數倍。