複指數函數的週期性（the periodicity of the complex exponential）

實指數 e^x 從不重複：它永遠攀升，且是一對一的。因此初次接觸複數的人自然會期待 e^z 也是一對一的。其實並非如此，而原因正是指數函數最重要的結構性事實。

由於 e^z = e^x (cos y + i sin y)，而餘弦與正弦的週期是 2 pi，在指數上加 2 pi i 不會改變任何東西：e^(z + 2 pi i) = e^z。更精確地說，e^z 以 2 pi i 為週期，而且這是它僅有的週期（恰好就是整數倍 2 pi i k）。因此指數函數把每一條高度為 2 pi 的水平帶狀區域，例如 -pi < y <= pi 這條帶，一對一地映成去掉原點的整個平面，然後在上下相鄰的帶中無窮地重複同一幅圖。兩個輸入給出相同輸出，恰當它們相差 2 pi i 的整數倍時。

這個週期性是後續一切多值現象的根源。既然有無窮多個 z 共享同一個值 e^z，把指數還原就不可能只有一個答案：這正是為什麼 log w 有無窮多個相差 2 pi i 的值，也是為什麼我們必須選定一個分支。這裡的 2 pi i，與複數輻角中那 2 pi 的不確定性，是同一個現象。