圍道積分的同倫不變性（homotopy invariance）

同倫是拓撲學家對「連續形變」的用語。若一條路徑能在某區域內連續滑動成另一條、保持端點固定，則這兩條路徑（在該區域中）同倫。同倫不變性是這個簡潔的定理：解析函數的圍道積分只取決於路徑的同倫類：在解析區域內隨你怎麼形變路徑，積分都不變。

這是形變原理用其恰當的拓撲語言陳述出來，也是柯西定理的自然歸宿。若一條封閉迴路在 f 解析的區域內與一個常數點同倫（零倫），則它的積分等於繞一點的積分，即零——這恰好就是柯西定理。在單連通區域上每條迴路都零倫，故每個迴路積分都為零；在有洞的區域上，兩條迴路給出相同積分，恰當它們同倫，也就是當它們以同樣方式環繞各洞時。

其實用結果是，你依圍道如何穿繞奇點來分類，而非依其幾何。兩條看起來大相逕庭、卻以相同次數圈住恰好相同穿孔的迴路，在穿孔區域中同倫，因而給出相同的積分。這就是為什麼在留數計算中，你可以自由地在一個同倫類中挑選最方便的圍道——一個大圓、一個矩形、一個鎖孔——同時知道答案由拓撲確定，而非由你所畫的特定曲線。