萬有覆蓋（universal cover）

在坐落於一個底空間上方的所有覆蓋空間之中，有一個是最為展開的：萬有覆蓋。它是本身單連通的那個覆蓋——它再也沒有洞、沒有任何收不成一點的迴圈。直觀地說，你不斷把底空間展開、解開每一個迴圈，直到再也沒有東西可展開為止。底空間的任何其他連通覆蓋都能由萬有覆蓋折回去得到，這就是它被稱為「萬有」的原因：它坐落在所有其他覆蓋之上、並向下投影到它們每一個。

最簡單的例子正是對數的螺旋坡道。去心平面有一個本質的迴圈（繞穿孔），永遠地展開那個迴圈，就得到那道無頂、無底、無洞的無窮螺旋——而那道螺旋就是去心平面的萬有覆蓋，由從整個平面往下到去心平面的映射 exp 具體實現。在萬有覆蓋上，多值的對數變成單值函數（它就是 exp 的反函數），因為一旦每個迴圈都被展開，就再沒有迴圈能改變分支。更一般地，任何由區域上的延拓所定義的多值解析函數，當被提升到該區域的萬有覆蓋上時都變成單值——這是單值性想法最強的形式。

萬有覆蓋是單值化定理——黎曼曲面這項宏大分類——背後的深層引擎。那個定理說：每個單連通的黎曼曲面在共形意義下只是三個模型之一：黎曼球面、複平面、或單位圓盤（等價於上半平面）。由於任何黎曼曲面的萬有覆蓋都是單連通的，它必是這三者之一——所以每個黎曼曲面都是這三個模型空間之一被一個對稱群折疊而成。這就是為何環面結果是被一個格折疊的平面、為何每個虧格至少 2 的曲面結果是被一群雙曲運動折疊的圓盤：萬有覆蓋提供幾何，折疊還原曲面。