黎曼曲面（Riemann surface）

多值函數很棘手：在單一點 z 上方，對數有無窮多個值、平方根有兩個，所以平面上方的「圖形」是一團糾纏重疊的混亂。黎曼美妙的想法是固定定義域、而非固定函數。與其把多值函數硬塞到平坦的平面上，不如建造一個新的、彎曲的曲面——鋪展在平面上方、分成數層——設計成讓函數的每個值都在它的底點上方、坐落於自己獨特的高度。在這個更大的曲面上，函數變成完全單值的：當你在曲面上漫遊時，函數永遠不必在彼此競爭的值之間抉擇，因為每個值都住在自己的位置。

正式地說，黎曼曲面是一個連通曲面，它在局部看起來像一塊複平面，各片之間以解析的轉移映射黏接，使「解析」在全域上有意義。它正是一個一維複流形。為給定的多值函數建造它的日常做法是黏接構造：取數份平面（或割開平面）的副本，每個分支一份——這些就是葉——並沿割線把它們互相黏接，使從一葉的邊緣走出去會平順地踏上下一葉，恰如繞分支點解析延拓會把你從一個分支擺渡到另一個。各葉相接的點就是分支點。

為何這是本學科最偉大的想法之一：它把一個解析上的頭痛問題（多值性）轉化為乾淨的幾何（一個較好的空間上的單值函數）。每個完全解析函數都單值地住在它的黎曼曲面上，沿路徑延拓成為曲面上一次普通的行走，而關於函數的深刻問題化為關於曲面的拓撲問題——它有幾個洞（它的虧格）、它的葉如何相連、它是球面還是環面還是有更多把手的東西。這是從分析通往拓撲、通往代數幾何的橋樑，因為一個代數函數的黎曼曲面正是一條代數曲線。