黎曼曲面的虧格
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一旦黎曼曲面建造好並封閉成一個閉（緊）曲面，最基本的問題是：它是什麼形狀？從拓撲上看，每個閉的可定向曲面都是黏上若干把手的球面，而把手的數目就是它的虧格。虧格 0 是球面（沒有把手）；虧格 1 是環面，即甜甜圈的表面（一個把手、一個你能把手指穿過去的洞）；虧格 2 是雙洞的椒鹽脆餅，依此類推。虧格是捕捉曲面本質形狀——它的洞數——的那個單一整數，而當你彎曲或拉伸曲面而不撕裂它時，它不會改變。
對於一個代數函數的黎曼曲面——由像 w^2 = p(z) 這樣的多項式關係所定義者——虧格可由葉與分支點的資料算出。黎曼-赫爾維茨公式把曲面的虧格與葉數及分支總量聯繫起來：粗略地說，越多分支點（或越高階的分支點）就堆出越多把手。給點實感：w = sqrt(p(z)) 的曲面，其中 p 是次數 2g+1 或 2g+2（且根相異）的多項式，是一個虧格恰為 g 的超橢圓曲面。所以二次式的 sqrt 給虧格 0（球面）、三次或四次式的 sqrt 給虧格 1（環面）——這就是橢圓函數與環面交織在一起的原因——而更高次的多項式給更高的虧格。
虧格之所以重要，是因為它是支配關於曲面及其函數幾乎一切的主不變量。它出現在黎曼-羅赫定理裡（計數具有指定極點的函數），它經由單值化定理決定了可用的曲率（虧格 0 的曲面是球面的、虧格 1 是平的、虧格至少 2 是雙曲的），它也把黎曼曲面與代數曲線繫在一起：一個緊黎曼曲面與一條光滑射影代數曲線是同一回事，而它的虧格就是曲線的虧格。所以一個單一的拓撲計數——有幾個洞——同時支配著分析、幾何與代數。
w = sqrt((z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)(z - e_4)) 的曲面，有四個相異的根，在四個 e_i 處有分支點、共兩葉。把它們黏起來得到一個環面——虧格 1。這正是魏爾斯特拉斯橢圓函數所居住的曲面，也是為何平方根下的三次或四次式是通往橢圓曲線的門戶。
根相異的四次式之平方根黏成一個環面：虧格 1，橢圓函數的家。
虧格是洞的拓撲計數，不是葉或分支點的直接計數——你經由黎曼-赫爾維茨從那些算出它。而且虧格只對「閉」曲面才能乾淨地適用；你必須先緊化（加上無窮遠點）這個計數才良好定義。